Bu sitede bulunan yazılar memnuniyetsizliğiniz halınde olursa bizimle iletişime geçiniz ve o yazıyı biz siliriz. saygılarımızla

    üçgenin iç açılarının toplamı kaçtır

    1 ziyaretçi

    üçgenin iç açılarının toplamı kaçtır bilgi90'dan bulabilirsiniz

    Üçgenin iç açıları toplamı kaçtır? Her zaman 180 derece midir?

    Üçgenin iç açıları toplamı kaçtır? Her zaman 180 derece midir?

     Üçgenin iç açıları konusu sorulduğunda burada asıl önemli olan soru, hangi üçgen ve nasıl üçgen olmaktadır. Üçgenlerin iç açıları toplamı her üçgende aynı mıdır yoksa farklı mıdır sorusu da sorulabilir. Çünkü üçgenin türü ve özelliğinin iç açıların toplamını etkileyip etkilemediğini bilmek burada önemli bir konudur. 

     Üçgenin İç Açıları Toplamı Kaçtır? 

     Çizilmiş durumda olan bir üçgen düzlem üzerine aktarılmış olur. Burada düzlemin ne olduğu değinilmesi gereken bir konu olarak karşımıza çıkmaktadır. Eni ve boyu olan, fakat kalınlığı ve genişliği olmayan (iki boyutlu ), hayali, sonsuza kadar gitmekte olan bölgeye düzlem adı verilir. 

     Dolayısıyla bir düzlem üzerine çizilmiş olan bir üçgen, bir düzlem üçgeni olarak ifade edilir. Peki, üçgenlerin iç açıları toplamı kaçtır? Üçgenlerdeki iki kenar arasında kalmakta olan ve iç tarafa doğru olan açıklığa iç açı denilmektedir. 

     Bir üçgenin de 3 adet iç açısı bulunur. Üçgenin iç açılarının toplamı ise 180 derecedir. Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan durumdaki iki iç açının toplamına eşit durumdadır. Tüm kenarları eşit durumda olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilmiş durumda olan dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır. 

     Üçgen Her Zaman 180 Derece midir? 

     Üçgen konusu ile alakalı olarak en fazla merak edilen konulardan birini üçgen her zaman 180 derece midir sorusu olmaktadır. Ancak esasında sorulması gereken asıl soru üçgenlerdeki iç açıların toplamı neden 180 derece? Bunun anlaşılması için öncelikle şu bilgiye sahip olunması gerekir. Düzlem üzerinde bulunan çokgenlerin dış açılarının toplamı 360 derecedir. 

     Dış açılardan yola çıkarak yapılan ispat şu şekilde yapılır:

     Üçgenlerle alakalı olarak burada doğru açı 180 derece olarak kabul edilerek ispata ulaşılır. Peki neden 180 derece? Bu sorunun yanıtını bulmak için; 

     Üçgenlerde dik açı, 90 derecedir.

     Üçgenlerde doğru açı, 180 derecedir.

     Üçgenlerde tam açı, 360 derecedir. 

     Bunlar bilinmekte olan önemli bilgiler olup bu bilgiler birer kabuldür. Elbette her zaman bir şeylerin başlangıç noktası olması gerekir. Sonsuza kadar ispat yapma durumu söz konusu olamaz. Burada esas önemli olan husus kabuller arasındaki ilişkiler olmaktadır. 

     Dik açı 90 derece olarak kabul görüyorsa doğru açıyı 180 derece kabul etmek mecburiyeti söz konusudur. Aksi bir durumda hem geometriye hem de doğanın kendisine aykırı davranma durumu söz konusudur. Şu sorulabilir: dik açı neden 23 derece değil de 90 derece olarak kabul görmektedir? 

     Kesin olan bir şey var ki, oraya hangi açı değerini kabul olarak alınırsa alınsın: Sonuç değişmeyecektir. Örneğin: 1 metre 100 cm olarak değil de 200 cm olarak kabul edilmiş olsa ve bunu da herkese kabul ettirmek mümkün olsa dünyanın hacmi 4-5 katına çıkmaz ya da boy uzunluğu bir anda ikiye katlanarak tavana değmez. Görüldüğü üzere asıl önemli olan bir kabulden yola çıkarak diğerlerinin atadığın ilişkilerin birbiri ile tutarlı olması olmaktadır. Sonuç olarak üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 derecedir. Bu hiç bir zaman değişmez. 

     Bir düzlem üzerinde bir doğrunun her iki doğrunun birbirini ve bir üçüncü doğruyu tek noktadan keserek oluşturmuş durumda olduğu şekil üçgendir. Üçgenin iç açıları toplamı ise her zaman 180 dereceye eşittir. Bundan dolayı da üçgen her zaman 180 derecedir.

    Yazı kaynağı : www.hurriyet.com.tr

    Üçgenin iç açıları toplamı kaç derece? Üçgenin iç açıları toplamı kaçtır, dış açılar nasıl hesaplanır?

    Üçgenin iç açıları toplamı kaç derece? Üçgenin iç açıları toplamı kaçtır, dış açılar nasıl hesaplanır?

    Geometri, matematiğin uzamsal ilişkiler ile ilgilenen alt dalıdır. Üçgende düzlem geometrisinin temel şekillerinden biri olarak karşımıza çıkmaktadır. İlkokul, ortaokul ve lise de üçgen ile ilgili birçok konu yer almakta olup, kenarlarına ve açılarına göre çeşitlendirilmektedir. Üçgenin iç açılarına göre de birçok problem çözüme kavuşturulur.

    ÜÇGENİN İÇ AÇILARI TOPLAMI KAÇTIR?

    Üçgenlerde iki kenar arasında kalan ve iç tarafa doğru olan açıklığa iç açı denilir. Bir üçgenin de 3 iç açısı vardır. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

    Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

    ÜÇGENİN İÇ AÇILARI TOPLAMI KAÇ DERECE?

    Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°, dış açılarının toplamı 360°'dir. [AB]U[AC]U[BC]= ABC Burada A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve [AB],[AC],[BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır.

    Yazı kaynağı : www.sabah.com.tr

    Üçgenin iç açıları toplamı neden 180 derece?

    Üçgenin iç açıları toplamı neden 180 derece?

    Üçgenin iç açıları toplamı neden 180 derece?

    Öklid geometrisi üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu kabul eder. Modern matematiğin en önemli gelişmelerinden biri üçgenin iç açılarının toplamının 180 dereceden daha az ya da daha çok olduğu geometrilerin inşa edilebileceğini göstermesi

    [BAA – Matematik]

    Öklid milattan önce 300 yılında Elementler (The Elements) adlı kitabında geometrinin üzerine inşa edilebileceği beş temel kabulu (aksiyom) yazdı. Bu kabullerden beşincisi diğerlerine göre daha karmaşık görünen bir kabuldu. Bu beşinci kabulun denk ifadelerinden ikisi şöyle:

    Öklid kitabında beşinci aksiyomu daha farklı bir şekilde ifade etti ancak Proclus (410-485) bu aksiyomun yukarıdaki ilk yazılan önermeye denk olduğunu ispatladı. Daha yakın bir zamanda ise Legendre (1752-1833) bunun yukarıdaki ikinci önermeye denk olduğunu gösterdi. Yani üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olması Öklid geometrisinin beşinci aksiyomuna denk bir önerme.

    Matematikçiler, Öklid’den sonra yüzyıllarca beşinci aksiyomun Öklid’in ilk dört aksiyomunun bir sonucu olarak ispatlanabileceğini göstermeye çalıştılar. Bir başka deyişle üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olmasının bir aksiyom değil, ilk dört aksiyomdan çıkarılabilecek bir teorem olduğunu göstermeye çalıştılar.

    19. yüzyıla gelindiğinde Gauss (1777-1855) beşinci aksiyomun diğer dört aksiyomdan bağımsız olduğu konusunda ikna olmaya başlamıştı. Bir başka deyişle beşinci aksiyomu ilk dört aksiyomu kullanarak ispat etmeye çalışmak yerine beşinci aksiyomun daha değişik olabileceği geometriler üzerine düşünmeye başlamıştı. Öyle geometriler olabilir miydi ki bir doğru dışındaki bir noktadan o doğruya paralel hiçbir doğru olmasın? Veya bir doğru dışındaki bir noktadan o doğruya paralel birden çok doğru olabilsin.

    Küresel geometri

    İlk dört aksiyomun ne olduğuna bu yazıda değinmeyeceğiz ancak araştırdığınızda beşinci aksiyomun ilk dördüne göre biraz daha değişik olduğunu düşünebilirsiniz. İlk dört aksiyomu değiştirmeden bırakıp beşincisini şu şekilde değiştirelim:

    Öklid’in beşinci aksiyomunu bu şekilde değiştirdiğimizde elde edilen geometri şaşırtıcı şekilde basit. Dünya yüzeyinin geometrisi, yani küresel geometri!

    Beşinci aksiyomun küre üzerinde ne anlama geldiğini anlamak için "doğru" kavramını tekrar ele alalım. Hepimiz ilk ve ortaöğretimde tek bir geometrinin matematiğini öğreniriz, Öklid geometrisi. Öklid’in geometrisinde doğru ne demektir? İki nokta arasına çizilen düz çizgi! Buradaki düzlüğün asıl geometrik anlamı ise şu: iki nokta arasındaki düz çizgi aslında iki nokta arasında gidilebilecek en kısa yolu verir. Matematiksel titizliği bir yana bırakıp doğruyu noktalar arasındaki en kısa yol olarak kavramaya çalışalım.

    Dolayısıyla küre üzerindeki doğruları anlamaya çalışmak demek, aslında küre üzerindeki en kısa yolları anlamaya çalışmak demek. Küre üzerinde (ya da somut bir örnek olarak dünya yüzeyinde)  iki nokta aldığımız zaman bu iki noktayı birleştiren en kısa yol nedir? Sezgisel olarak bu yolu hayal edebildilmek o kadar da kolay değil. Matematik disiplini içerisinde bu soruyu cevaplamak için ise üniversite seviyesinde bir matematik eğitimi gerekiyor.

    Küre derken hep dünya yüzeyi gibi bir şey düşünüyoruz. Yeri kazıp içinden geçemiyormuşuz, dünya yüzeyine hapsolmuş gibi düşünüyoruz. Yani küre derken, içi boş küreden bahsediyoruz. Gideceğimiz yollar kürenin yüzeyinde! Bu şekilde düşündüğümüzde küre üzerindeki iki noktayı birleştiren en kısa yol bu iki noktadan geçen ve merkezi kürenin merkezi olan çemberin parçasıdır. Eğer Ankara’dan Şam’a  en kısa yoldan yürümek istiyorsanız, Ankara ve Şam’dan geçen ve merkezi dünyanın merkezi olan çemberi hesaplayıp onun üzerinden yürümeniz gerekir. Kürenin doğruları büyük çemberler olarak adlandırılır. Çok güzel bir adlandırma. Sonuçta küre üzerinde çizebileceğiniz en büyük çemberler merkezi kürenin de merkezi olan çemberler.

    Toparlayacak olursak küre üstünde tabii ki bildiğimiz düz çizgi olan doğrular yok, ama kürenin de kendine göre doğruları var! Beşinci aksiyomu küre üzerinde anlamaya neredeyse hazırız. Bunun için paralellik kavramını tekrar ele alalım. Ne mutlu ki bu çok daha basit bir kavram. İki doğrunun birbiriyle paralel olması aslında birbiriyle kesişmemesi demek.

    Şimdi küre üzerinde iki doğrunun birbirine paralel olması ne demek, tam olarak anlayabiliriz. Küre üzerindeki iki doğrunun birbirine paralel olması demek küre üzerindeki iki büyük çemberin birbiriyle kesişmemesi demek! Fakat küre üzerindeki herhangi iki büyük çember birbiriyle kesişmek zorunda. Dolayısıyla küresel geometri beşinci aksiyomun değiştirilmiş halini sağlıyor:

    Yani küre üzerinde

    Üçgenin iç açıları toplamı

    Başta da değindiğimiz gibi Legendre 18-19. yüzyıllarda, Öklid’in beşinci aksiyomunun, üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğu önermesine denk olduğunu göstermişti. Yani beşinci aksiyom, yukarıdaki küresel geometri örneğinde olduğu gibi değiştirildiğinde, iç açılar toplamının 180 derece olmadığı başka geometriler verebilir.

    Peki küresel geometride üçgenlerin iç açıları toplamı ne olabilir? Bunu anlamak için küre üzerinde üçgen ne demek, önce bunu anlayalım. Öklid geometrisinde bir üçgeni şöyle oluşturuyoruz. Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta alıyoruz ve her iki noktayı birbirine bir düz çizgiyle, yani aralarındaki en kısa yol ile birleştiriyoruz. Küre üzerinde de aynısını yapabiliriz. Küre üzerinde aynı doğru üzerinde olmayan -yani bir büyük çember üzerinde olmayan- üç nokta alalım. Daha sonra her iki noktayı birbiriyle düz çizgilerle -küre üstünde olduğumuz için büyük çember parçalarıyla- birleştirelim. Aşağıda kırmızı çember parçalarıyla oluşturulmuş üçgene bakalım. Üçgenin köşelerinde kırmızı çember parçaları 90 derecelik açılarla kesişir. Dolayısıyla küresel geometride iç açıları toplamı 270 derece olan bir üçgen çizebiliriz.

    Küresel geometride bütün üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür. Küresel geometrinin inşa edildiği gibi, beşinci aksiyomu başka bir şekilde değiştirerek üstündeki bütün üçgenlerin iç açıları toplamının 180 dereceden küçük olduğu bir geometri de inşa etmek mümkün. Bu geometriye ise "hiperbolik geometri" denir. Ancak hiperbolik geometriyi görsel olarak kavramak küresel geometriyi anlamaktan biraz daha zor.

    Kaynaklar:

    https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry/

    Yazı kaynağı : bilimveaydinlanma.org

    Yorumların yanıtı sitenin aşağı kısmında

    Ali : bilmiyorum, keşke arkadaşlar yorumlarda yanıt versinler.

    Yazının devamını okumak istermisiniz?
    Yorum yap