Bu sitede bulunan yazılar memnuniyetsizliğiniz halınde olursa bizimle iletişime geçiniz ve o yazıyı biz siliriz. saygılarımızla

    üçgenin bir iç açısının ölçüsü en fazla kaç olabilir

    1 ziyaretçi

    üçgenin bir iç açısının ölçüsü en fazla kaç olabilir bilgi90'dan bulabilirsiniz

    Üçgenin bir iç açısının ölçüsü en fazla 90 derece mi olabilir

    Üçgenin bir iç açısının ölçüsü en fazla 90 derece mi olabilir

    ÜÇGENİN İÇ AÇILARI

    ÜÇGENİN İÇ AÇILARI

    Yukarıdaki üçgenlerin tümünde iç açıların toplamı 180⁰'dir.

    1. Üçgen: ... ...

    2. Üçgen: ... ...

    3. Üçgen: ... ...

    Yazı kaynağı : matematikdelisi.com

    Üçgenin İç ve Dış Açılar Gereci

    5. Sınıf Matematik Üçgen Ve Dörtgenlerin İç Açıları konu anlatımı

    5. Sınıf Matematik Üçgen Ve Dörtgenlerin İç Açıları konu anlatımı

    Dörtgenler ve üçgenler farklı geometrik şekillerdir. Doğal olarak bu geometrik şekillerin iç açıları farklılık gösterir. Aynı zamanda kenar uzunlukları da farklılık gösterdiği için açıları değişebilir. Şimdi bunu nasıl olacağını ayrı ayrı bakacağız ve örnek yaparak inceleyeceğiz.

     Üçgen ve Dörtgenlerin İç Açıları

     Hem üçgenlerin hem de dörtgenlerin belli bir iç açıları ve iç açıları toplamı bulunmaktadır. Şimdi bu geometrik şekilleri matematik içerisinde sırası ile ele alalım ve inceleyelim.

     Üçgenin iç açıları: Üçgen adından da anlaşılacağı üzere üçgenlerden oluşmaktadır. Bu kenarların bazıları bazen birbirine eşit olabilir bazen ise her üç kenar da farklı uzunluklara sahip olabilir. Ancak uzunluklar ne olursa olsun bir üçgenin iç açısı toplamı değişmez. Yani Bir üçgenin bir köşesi toplamı 180 derecedir. Ancak kenarlarının kesiştiği köşe kısımlarına açıları değişiklik gösterebilir.

     Örnek: Bir üçgenin iç açıları sırasıyla 45 derece ve 70 derecedir. O zaman bu üçgenin diğer açısı kaç derecedir?

     Yukarıda bir üçgenin iç açısının toplamının 180 derece olduğunu öğrenmiştik. O zaman şimdi bize yukarıda verilen açıları toplayarak 180 dereceden çıkardığımız zaman, böylece diğer açıyı bulabiliriz.

     45 + 70 = 115 derece

     180 - 115 = 65 derece

     Gördüğümüz gibi olmak istediğimiz üçgenin diğer açısı 65 derecedir.

     Örnek: İki açısının ölçüsü 100 derece ve 50 derece olan bir üçgenin üçüncü açısı kaçtır?

     Bu soru da aynı şekilde yukarıdaki soruya benzemektedir. Bize bir üçgenin iki tane açısı verilmiş. Biz bir üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunu biliyoruz. O zaman yine bu iki dereceyi topladıktan sonra 180 dereceden çıkartarak üçgenin üçüncü açısını bulabiliriz.

     100 + 50 = 150 derece

     180 - 150 = 30 derece

     İşlemi tamamladıktan sonra bu üçgenin üçüncü açısının 30 derece olduğunu görüyoruz.

     Dörtgenin iç açıları: Aynı şekilde adından anlaşılacağı gibi dörtgenin dört kenarı bulunmaktadır. Ancak dörtgenler kare ya da dikdörtgen gibi karşılıklı kenarları eşit ya da dik olmayabilir. O yüzden dörtgenin iç açıları değişiklik gösterebilir. Yani iç açıları her zaman 90 derece olmaz. Ancak ne olursa olsun, yani bir dörtgenin kenarları ne kadar değişik olursa olsun iç açılarının toplamı her zaman 360 derecedir. Şimdi bu konuda bazı örnekler yapalım ve konuyu daha iyi anlamaya çalışalım.

     Örnek: Bir dörtgenin iç açıları sırasıyla 70 derece 80 derece ve 100 derecedir. Peki o zaman bu dörtgenin dördüncü açısı kaç derecedir?

     Yukarıdaki örneği incelediğimiz zaman dörtgenin 3 açısını biliyoruz. Aynı şekilde dörtgenin iç açıları toplamı 360 derece olduğunu da biliyoruz. O zaman bu açıları toplayarak 360 dereceden çıkardığınız zaman, geriye bize dördüncü açı kalır.

     70 + 80 + 100 = 250 derece

     360 - 250 = 110 derece

     Dikdörtgenin son yani dördüncü açısını 110 derece olduğunu bu şekilde kolayca bulduk.

     Siz de böyle birçok değişik örnek yapabilir ve hem üçgenler hem de dörtgenlerin iç açılarını bulabilirsiniz.

     Not: Üçgenler eşkenar olabilir yani üç kenarı birbirine eşit olabilir. Aynı zamanda ikizkenar olabilir yani iki kenarı eşit olabilir. Ya da bütün kenarları farklı olabilir. Aynı zamanda dörtgenlerin bütün kenarları farklı olabilir veya karşılıklı kenarları paralel ve eşit olabilir. Üçgen ve dörtgenlerin iç açılarını bulurken buna çok dikkat etmemiz gerekir. Böylece iç açıları daha kolay bir şekilde bulabiliriz.

    Yazı kaynağı : www.hurriyet.com.tr

    Üçgenin iç açıları toplamı neden 180 derece?

    Üçgenin iç açıları toplamı neden 180 derece?

    Üçgenin iç açıları toplamı neden 180 derece?

    Öklid geometrisi üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu kabul eder. Modern matematiğin en önemli gelişmelerinden biri üçgenin iç açılarının toplamının 180 dereceden daha az ya da daha çok olduğu geometrilerin inşa edilebileceğini göstermesi

    [BAA – Matematik]

    Öklid milattan önce 300 yılında Elementler (The Elements) adlı kitabında geometrinin üzerine inşa edilebileceği beş temel kabulu (aksiyom) yazdı. Bu kabullerden beşincisi diğerlerine göre daha karmaşık görünen bir kabuldu. Bu beşinci kabulun denk ifadelerinden ikisi şöyle:

    Öklid kitabında beşinci aksiyomu daha farklı bir şekilde ifade etti ancak Proclus (410-485) bu aksiyomun yukarıdaki ilk yazılan önermeye denk olduğunu ispatladı. Daha yakın bir zamanda ise Legendre (1752-1833) bunun yukarıdaki ikinci önermeye denk olduğunu gösterdi. Yani üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olması Öklid geometrisinin beşinci aksiyomuna denk bir önerme.

    Matematikçiler, Öklid’den sonra yüzyıllarca beşinci aksiyomun Öklid’in ilk dört aksiyomunun bir sonucu olarak ispatlanabileceğini göstermeye çalıştılar. Bir başka deyişle üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olmasının bir aksiyom değil, ilk dört aksiyomdan çıkarılabilecek bir teorem olduğunu göstermeye çalıştılar.

    19. yüzyıla gelindiğinde Gauss (1777-1855) beşinci aksiyomun diğer dört aksiyomdan bağımsız olduğu konusunda ikna olmaya başlamıştı. Bir başka deyişle beşinci aksiyomu ilk dört aksiyomu kullanarak ispat etmeye çalışmak yerine beşinci aksiyomun daha değişik olabileceği geometriler üzerine düşünmeye başlamıştı. Öyle geometriler olabilir miydi ki bir doğru dışındaki bir noktadan o doğruya paralel hiçbir doğru olmasın? Veya bir doğru dışındaki bir noktadan o doğruya paralel birden çok doğru olabilsin.

    Küresel geometri

    İlk dört aksiyomun ne olduğuna bu yazıda değinmeyeceğiz ancak araştırdığınızda beşinci aksiyomun ilk dördüne göre biraz daha değişik olduğunu düşünebilirsiniz. İlk dört aksiyomu değiştirmeden bırakıp beşincisini şu şekilde değiştirelim:

    Öklid’in beşinci aksiyomunu bu şekilde değiştirdiğimizde elde edilen geometri şaşırtıcı şekilde basit. Dünya yüzeyinin geometrisi, yani küresel geometri!

    Beşinci aksiyomun küre üzerinde ne anlama geldiğini anlamak için "doğru" kavramını tekrar ele alalım. Hepimiz ilk ve ortaöğretimde tek bir geometrinin matematiğini öğreniriz, Öklid geometrisi. Öklid’in geometrisinde doğru ne demektir? İki nokta arasına çizilen düz çizgi! Buradaki düzlüğün asıl geometrik anlamı ise şu: iki nokta arasındaki düz çizgi aslında iki nokta arasında gidilebilecek en kısa yolu verir. Matematiksel titizliği bir yana bırakıp doğruyu noktalar arasındaki en kısa yol olarak kavramaya çalışalım.

    Dolayısıyla küre üzerindeki doğruları anlamaya çalışmak demek, aslında küre üzerindeki en kısa yolları anlamaya çalışmak demek. Küre üzerinde (ya da somut bir örnek olarak dünya yüzeyinde)  iki nokta aldığımız zaman bu iki noktayı birleştiren en kısa yol nedir? Sezgisel olarak bu yolu hayal edebildilmek o kadar da kolay değil. Matematik disiplini içerisinde bu soruyu cevaplamak için ise üniversite seviyesinde bir matematik eğitimi gerekiyor.

    Küre derken hep dünya yüzeyi gibi bir şey düşünüyoruz. Yeri kazıp içinden geçemiyormuşuz, dünya yüzeyine hapsolmuş gibi düşünüyoruz. Yani küre derken, içi boş küreden bahsediyoruz. Gideceğimiz yollar kürenin yüzeyinde! Bu şekilde düşündüğümüzde küre üzerindeki iki noktayı birleştiren en kısa yol bu iki noktadan geçen ve merkezi kürenin merkezi olan çemberin parçasıdır. Eğer Ankara’dan Şam’a  en kısa yoldan yürümek istiyorsanız, Ankara ve Şam’dan geçen ve merkezi dünyanın merkezi olan çemberi hesaplayıp onun üzerinden yürümeniz gerekir. Kürenin doğruları büyük çemberler olarak adlandırılır. Çok güzel bir adlandırma. Sonuçta küre üzerinde çizebileceğiniz en büyük çemberler merkezi kürenin de merkezi olan çemberler.

    Toparlayacak olursak küre üstünde tabii ki bildiğimiz düz çizgi olan doğrular yok, ama kürenin de kendine göre doğruları var! Beşinci aksiyomu küre üzerinde anlamaya neredeyse hazırız. Bunun için paralellik kavramını tekrar ele alalım. Ne mutlu ki bu çok daha basit bir kavram. İki doğrunun birbiriyle paralel olması aslında birbiriyle kesişmemesi demek.

    Şimdi küre üzerinde iki doğrunun birbirine paralel olması ne demek, tam olarak anlayabiliriz. Küre üzerindeki iki doğrunun birbirine paralel olması demek küre üzerindeki iki büyük çemberin birbiriyle kesişmemesi demek! Fakat küre üzerindeki herhangi iki büyük çember birbiriyle kesişmek zorunda. Dolayısıyla küresel geometri beşinci aksiyomun değiştirilmiş halini sağlıyor:

    Yani küre üzerinde

    Üçgenin iç açıları toplamı

    Başta da değindiğimiz gibi Legendre 18-19. yüzyıllarda, Öklid’in beşinci aksiyomunun, üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğu önermesine denk olduğunu göstermişti. Yani beşinci aksiyom, yukarıdaki küresel geometri örneğinde olduğu gibi değiştirildiğinde, iç açılar toplamının 180 derece olmadığı başka geometriler verebilir.

    Peki küresel geometride üçgenlerin iç açıları toplamı ne olabilir? Bunu anlamak için küre üzerinde üçgen ne demek, önce bunu anlayalım. Öklid geometrisinde bir üçgeni şöyle oluşturuyoruz. Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta alıyoruz ve her iki noktayı birbirine bir düz çizgiyle, yani aralarındaki en kısa yol ile birleştiriyoruz. Küre üzerinde de aynısını yapabiliriz. Küre üzerinde aynı doğru üzerinde olmayan -yani bir büyük çember üzerinde olmayan- üç nokta alalım. Daha sonra her iki noktayı birbiriyle düz çizgilerle -küre üstünde olduğumuz için büyük çember parçalarıyla- birleştirelim. Aşağıda kırmızı çember parçalarıyla oluşturulmuş üçgene bakalım. Üçgenin köşelerinde kırmızı çember parçaları 90 derecelik açılarla kesişir. Dolayısıyla küresel geometride iç açıları toplamı 270 derece olan bir üçgen çizebiliriz.

    Küresel geometride bütün üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür. Küresel geometrinin inşa edildiği gibi, beşinci aksiyomu başka bir şekilde değiştirerek üstündeki bütün üçgenlerin iç açıları toplamının 180 dereceden küçük olduğu bir geometri de inşa etmek mümkün. Bu geometriye ise "hiperbolik geometri" denir. Ancak hiperbolik geometriyi görsel olarak kavramak küresel geometriyi anlamaktan biraz daha zor.

    Kaynaklar:

    https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry/

    Yazı kaynağı : bilimveaydinlanma.org

    Yorumların yanıtı sitenin aşağı kısmında

    Ali : bilmiyorum, keşke arkadaşlar yorumlarda yanıt versinler.

    Yazının devamını okumak istermisiniz?
    Yorum yap